Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом Системы дифференциальных уравнений с 3 неизвестными

Многие системы дифференциальных уравнений, как однородные, так и неоднородные, могут быть сведены к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Покажем метод на примерах.

Пример 3.1. Решить систему

Решение. 1) Дифференцируя по t первое уравнение и используя второе и третье уравнения для замены и, находим

Полученное уравнение дифференцируем по еще раз

1) Составляем систему

Из первых двух уравнений системы выразим переменные ичерез
:

Подставим найденные выражения для ив третье уравнение системы

Итак, для нахождения функции
получили дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами

.

2) Интегрируем последнее уравнение стандартным методом: составляем характеристическое уравнение
, находим его корни
и строим общее решение в виде линейной комбинации экспонент, учитывая кратность одного из корней:.

3) Далее, чтобы найти две оставшиеся функции
и
, дифференцируем дважды полученную функцию

Используя связи (3.1) между функциями системы, восстанавливаем оставшиеся неизвестные

.

Ответ. ,
,.

Может оказаться, что все известные функции кроме одной исключаются из системы третьего порядка уже при однократном дифференцировании. В таком случае, порядок дифференциального уравнения для ее нахождения будет меньше, чем число неизвестных функций в исходной системе.

Пример 3.2. Проинтегрировать систему

(3.2)

Решение. 1) Дифференцируя по первое уравнение, находим

Исключая переменные ииз уравнений

будем иметь уравнение второго порядка относительно

(3.3)

2) Из первого уравнения системы (3.2) имеем

(3.4)

Подставляя в третье уравнение системы (3.2) найденные выражения (3.3) и (3.4) для и, получим дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции

Интегрируя это неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами первого порядка, найдем
Используя (3.4), находим функцию

Ответ.
,,
.

Задание 3.1. Решить однородные системы сведением к одному дифференциальному уравнению.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью нахождения фундаментальной системы решений

Общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений может быть найдено как линейная комбинация фундаментальных решений системы. В случае систем с постоянными коэффициентами для нахождения фундаментальных решений могут быть использованы методы линейной алгебры.

Пример 3.3. Решить систему

(3.5)

Решение. 1) Перепишем систему в матричном виде

. (3.6)

2) Будем искать фундаментальное решение системы в виде вектора
. Подставляя функции
в (3.6) и сокращая на, получим

, (3.7)

то есть число должно быть собственным числом матрицы
, а векторсоответствующим собственным вектором.

3) Из курса линейной алгебры известно, что система (3.7) имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

,

то есть . Отсюда находим собственные значения
.

4) Найдем соответствующие собственные векторы. Подставляя в (3.7) первое значение
, получим систему для нахождения первого собственного вектора

Отсюда получаем связь между неизвестными
. Нам достаточно выбрать одно нетривиальное решение. Полагая
, тогда
, то есть векторявляется собственным для собственного значения
, а вектор функции
фундаментальным решением заданной системы дифференциальных уравнений (3.5). Аналогично, при подстановке второго корня
в (3.7) имеем матричное уравнение для второго собственного вектора
. Откуда получаем связь между его компонентами
. Таким образом, имеем второе фундаментальное решение

.

5) Общее решение системы (3.5) строится как линейная комбинация двух полученных фундаментальных решений

или в координатном виде

.

Ответ.

.

Задание 3.2. Решить системы, находя фундаментальную систему решений.

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,

где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ -- искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ -- заданные действительные числа представим в матричной записи:

1. матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
2. матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
3. матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Отсюда получаем:

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.

Это уравнение называется характеристическим.

Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,

где $C_{i} $ -- произвольные постоянные.

Задача

Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.

Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.

В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.

Получаем характеристическое уравнение:

$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.

Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:

\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]

то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.

Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.

Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:

\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]

то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.

Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x (t) и y (t) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x (t) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) · d y d t + (a 1 · b 2 - a 2 · b 1) · y = a 2 · c 1 - a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x (t) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y (t) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x (t) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Пример 1

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Решение

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x:

x = d y d t - 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y (t) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 - 3 k + 2 = 0:

D = 3 2 - 4 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y ~ = A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y ~ = 1 и y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x (t) :
d (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) d t = x + 2 · (C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1) - 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Ответ: x (t) = - C 1 · e t + 1 y (t) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления . Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений , что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения . Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении .
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули , и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом . Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений .

Пример 1

, ,

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера . Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом . Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов , с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):

Таким образом:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом . Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:



Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Основные понятия и определения К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции х = x(t), у = y(t), z = z(t), выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид Здесь x, у, z - координаты движущейся точки, t - время, f,g,h - известные функции своих аргументов. Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций, называется нормальной. Если принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы. Например, одно уравнение является частным случаем канонической системы. Положив ^ = у, в силу исходного уравнения будем иметь В результате получаем нормальную систему уравнений СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод эквивалентную исходному уравнению. Определение 1. Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система п функций " дифференцируемых на интервале, обращающая уравнения системы (3) в тождества по t на интервале (а, Ь). Задача Коши для системы (3) формулируется так: найти решение (4) системы, удовлетворяющее при t = to начальным условиям Теорема 1 (существования и единственности решения задами Коим). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений и пусть функции определены в некоторой (n + 1)-мерной области D изменения переменных t, Х\, х 2, ..., хп. Если существует окрестность ft тонки в которой функции ft непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Х\, х2, ..., хп, то найдется интервал to - Л0 изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям Определение 2. Система п функций зависящих от tun произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области П существования и единственности решения задачи Коши, если 1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества, 2) в области П функции (6) решают любую задачу Коши. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями. Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений, Будем рассматривать систему значений t> Х\, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Otx\х2. Решение системы (7), принимающее при t - to значения, определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку)- Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Ко-ши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t> Х\, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Mo(to,x1,x2) (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой. Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение системы - как параметрические уравнения кривой на плоскости х\Ох2. Эту плоскость переменных Х\Х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение (0 системы (7), принимающее при t = t0 начальные значения х°{, х2, изображается кривой АВ, проходящей через точку). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот. § 2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений 2.1. Метод исключения Один из методов интегрирования - метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, Введя новые функции уравнение следующей нормальной системой п уравнений: заменим это одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1). Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка п. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Делается это так. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем Заменяя в правой части произв или, короче, Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим или Продолжая этот процесс, найдем Предположим, что определитель (якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений будет разрешима относительно неизвестных выразятся через Внося найденные выражения в уравнение получим одно уравнение n-го порядка Из самого способа его построения следует, что если) есть решения системы (2), то функция X\(t) будет решением уравнения (5). Обратно, пусть - решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции По предположению эту систему можно разрешить относительно, хп как функции от t. Можно показать, что так построенная система функций составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример. Требуется проинтегрировать систему Дифференцируя первое уравнение системы, имеем откуда, используя второе уравнение, получаем - линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид. В силу первого уравнения системы находим функцию. Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С| и С2 удовлетворяют заданной системе. Функции можно представить в виде откуда видно, что интегральные кривые системы (6) - винтовые линии с шагом с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3). Исключая в формулах (7) параметр получаем уравнение так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат - проекции винтовых линий на плоскость При Л=0 фазовая траектория состоит из одной точки, называемой точкой покоя системы. ». Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х\ или х2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает Метод интегрируемых комбинаций Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений dXi иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся. Пример. Проинтегрировать систему СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод 4 Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию: Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию: откуда Мы нашли два конечных уравнения з которых легко определяется общее решение системы: Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение связывающее независимую переменную t и неизвестные функции. Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы. Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля: Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система п линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид или, в матричной форме, Теорема 2. Если все функции, непрерывны на отрезке, то в достаточно малой окрестности каждой точки., хп),где), выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Кошии, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1). Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t)x\,x2}... ,хп и их частные производные по, ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке коэффициентам Введем линейный оператор Тогда система (2) запишется в виде Если матрица F - нулевая, на интервале (а, 6), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных си- стем. Теорема 3. Если X(t) является решением линейной однородной системы где с - произвольная постоянная, является решением той же системы. Теорема 4. Сумма двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами с, решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы. Теорема 5. Если X(t) есть решение линейной неоднородной системы - решение соответствующей однородной системы то сумма будет решением неоднородной системы Действительно, по условию, Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений Определение. Векторы где называются линейно зависимыми на интервале, если существуют постоянные числа такие, что при, причем по крайней мере одно из чисел а, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, Ь). Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно п тождествам: . Определитель называется определителем Вронского системы векторов. Определение. Пусть имеем линейную однородную систему где -матрица с элементами Система п решений линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале, называется фундаментальной. Теорема 6. Определитель Вронского W(t) фундаментальной на интервале системы решений линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке а b коэффициентами a-ij{t) отличен от нуля во всех точках интервала (а, 6). Теорема 7 (о структуре общего решения линейной однородной системы). Общим решением в области линейной однородной системы с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а решений системы (6): произвольные постоянные числа). Пример. Система имеет, как нетрудно проверить, решения Эш решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля: " Общее решение системы имеет вид или - произвольные постоянные). 3.1. Фундаментальная матрица Квадратная матрица столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению Если X(t) - фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде - постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в имеем откуда следовательно, Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так: Теорема 8 (о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений). Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке коэффициентами и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения X(t) неоднородной системы (2): 3.2. Метод вариации постоянных Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лаг-ранжа). Пусть есть общее решение однородной системы (6), тогда dXk причем решения линейно независимы. Будем искать частное решение неоднородной системы где - неизвестные функции от t. Дифференцируя имеем Подставляя получаем Так как то для определения получаем систему или, в развернутом виде, Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно 4(0 > определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале так что система) имеет единственное решение где МО - известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим Подставляя эти значения, находим частное решение системы (2): (здесь под символом понимается одна из первообразных для функции §4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений в которой все коэффициенты - постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами - метод преобразования Лапласа. Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем. Метод Эйлера Будем искать решение системы где - постоянные. Подставляя ж* в форме (2) в систему (1), сокращая на е* и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с п неизвестными ап имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю: Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно А степени п. Из этого уравнения определяются те значения А, при которых система (3) имеет нетривиальные решения а\, Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения, этой системы и, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде где второй индекс указывает номер решения, а первый - номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1) образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы. Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид - произвольные постоянные. Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем. М Ищем решение в виде Характеристическое уравнение Система (3) для определения 01,02 выглядит так: Подставляя получаем откуда Следовательно, Полагая находим поэтому Общее решение данной системы: СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН Методы интегрирования Метод исключения Метод интегрируемых комбинаций Системы линейных дифференциальных уравнений Фундаментальная матрица Метод вариации постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричный метод Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде матрица с постоянными действительными элементами a,j. Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор g Ф О называется собственным вектором матрицы А, если Число А называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения где I - единичная матрица. Будем предполагать, что все собственные значения А„ матрицы А различны. В этом случае собственные векторы линейно независимы и существует п х п-матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов Введем еще следующие понятия. Пусть В(£) - п х n-матрица, элементы 6,;(0 которой суть функции аргумента t, определенные на множестве Матрица B(f) называется непрерывной на П, если непрерывны на Q все ее элементы 6,j(f). Матрица В(*) называется дифференцируемой на П, если дифференцируемы на Q все элементы этой матрицы. При этом производной ^р- матрицы В(*) называется матрица, элементами которой являются производные -соответствующих элементов матрицы В(*). Пусть B - вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы В частности, если В - постоянная матрица, то так как ^ есть нуль-матрица. Теорема 9. Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид где - собственные векторы-столбцы матрицы произвольные постоянные числа. Введем новый неизвестный вектор-столбец по формуле где Т - матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя получим систему Умножая обе части последнего соотношения слева на Т 1 и учитывая, что Т 1 AT = Л, придем к системе Мы получили систему из п независимых уравнений, которая без труда интегрируется: (12) Здесь - произвольные постоянные числа. Вводя единичные п-мерные векторы-столбцы решение можно представить в виде Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10): Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы: 1) находим собственные значения „ матрицы как корни алгебраического уравнения 2) находим все собственные векторы 3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10). Пример 2. Решить систему Матричный метод 4 Матрица А системы имеет вид 1) Составляем характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения. 2) Находим собственные векторы Для А = 4 получаем систему откуда = 0|2, так что Аналогично для А = 1 находим I 3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты ау системы (7) действительные, то характеристическое уравнение будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем А оно будет иметь и корень \*, комплексно сопряженный с А. Нетрудно показать, что если g - собственный вектор, отвечающий собственному значению А, то А* - тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g. При комплексном Л решение системы (7) taioKe будет комплексным. Действительная часть и мнимая часть этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Л* будет отвечать пара действительных решений. та же пара, что и для собственного значения Л. Таким образом, паре А, А* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений. Пусть - действительные собственные значения, комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид где с, - произвольные постоянные. Пример 3. Решить систему -4 Матрица системы 1) Характеристическое уравнение системы Его корни Собственные векторы матрицы 3) Решение системы где - произвольные комплексные постоянные. Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера получаем Следовательно, всякое действительное решение системы имеет вид произвольные действительные числа. Упражнения Методом исключения проинтегрируйте системы: Методом интефируемых комбинаций проинтефируйте системы: Матричным способом проинтефируйте системы: Ответы