Преобразование декартовых координат на плоскости. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости. И.Привалов "Аналитическая геометрия"
Тема 5. Линейные преобразования.
Системой координат называют способ, позволяющий с помощью чисел однозначно установить положение точки относительно некоторой геометрической фигуры. Примерами могут служить система координат на прямой – координатная ось и прямоугольные декартовы системы координат соответственно на плоскости и в пространстве.
Выполним переход от одной системы координат xy на плоскости к другой системе , т.е. выясним, как связаны между собой декартовы координаты одной и той же точки в этих двух системах.
Рассмотрим сначала параллельный перенос
прямоугольной декартовой системы координат xy, т. е. случай, когда оси и новой системы параллельны соответствующим осям x и y старой системы и имеют с ними одинаковые направления.
Если известны координаты точек M (x; y) и (a; b) в системе xy, то (рис.15) в системе точка М имеет координаты: .
Пусть отрезок ОМ длины ρ образует угол с осью и . Тогда (рис.16) с осью х отрезок ОМ образует угол и координаты точки M в системе хy равны 
, 
.
Учитывая, что в системе координаты точки М равны и , получаем
При повороте же на угол «по часовой стрелке» соответственно получим: 
Задача 0.54 . Определить координаты точки М(-3; 7) в новой системе координат x / y / , начало 0 / которой находится в точке (3; -4), а оси параллельны осям старой системы координат и одинаково с ними направлены.
Решение
. Подставим известные координаты точек М и О / в формулы: x / = x-a, y / = y-b.
Получим: x / = -3-3=-6, y / = 7-(-4)=11. Ответ
: М / (-6; 11).
§2. Понятие линейного преобразования, его матрица.
Если каждому элементу х множества Х по некоторому правилу f соответствует один и только один элемент y множества Y, то говорят, что задано отображение f множества Х в множество Y, а множество Х называют областью определения отображения f. Если, в частности, элементу х 0 Î Х соответствует элемент у 0 Î Y, то пишут у 0 = f (х 0). В этом случае элемент у 0 называют образом элемента х 0 , а элемент х 0 - прообразом элемента у 0 . Подмножество Y 0 множества Y, состоящее из всех образов, называют множеством значений отображения f.
Если при отображении f различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества Y, то отображение f называют обратимым .
Если У 0 =У, то отображение f называют отображением множества Х на множествоY.
Обратимое отображение множества Х на множество Y называют взаимно однозначным .
Частными случаями понятия отображения множества в множество являются понятие числовой функции и понятие геометрического отображения .
Если отображение f каждому элементу множества Х сопоставляет единственный элемент этого же множества Х, то такое отображение называют преобразованием множества Х.
Пусть задано множество n-мерных векторов линейного пространства L n .
Преобразование f n-мерного линейного пространства L n называют линейным преобразованием, если
для любых векторов из L n и любых действительных чисел α и β. Иначе говоря, преобразование называется линейным, если линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.
Если в некотором базисе задан вектор и преобразование f линейное, то по определению , где -образы базисных векторов.
Следовательно, линейное преобразование вполне определено , если заданы образы базисных векторов рассматриваемого линейного пространства:
(12)
Матрицу 
в которой k-тый столбец является координатным столбцом вектора 
в базисе , называют матрицей
линейногопреобразования
f в этом базисе.
Определитель det L называют определителем преобразования f и Rg L называют рангом линейного преобразования f.
Если матрица линейного преобразования невырожденная, то и само преобразование невырожденное. Оно преобразует взаимно однозначно пространство L n в себя самого, т.е. каждый вектор из L n является образом его некоторого единственного вектора.
Если матрица линейного преобразования вырожденная, то и само преобразование вырожденное. Оно преобразует линейное пространство L n в некоторую его часть.
Теорема.
В результате применения линейного преобразования f с матрицей L к вектору 
получается вектор 
такой, что .
Числа, записанные в скобках, являются координатами вектора по базису :
|
По определению операции умножения матриц систему (13) можно заменить матричным
равенством 
, что и требовалось доказать.
Примеры линейных преобразований.
1. Растяжение вдоль оси х в к 1 раз, а вдоль оси у в к 2 раз на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: х / = k 1 x; y / = k 2 y.
2. Зеркальное отражение относительно оси у на плоскости ху определяется матрицей и формулы преобразования координат имеют вид: x / = -x, y / = y.
Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве
§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой
Данную тему мы предлагаем Вам рассмотреть в двух вариантах.
1) По учебнику И.И.Привалов "Аналитическая геометрия" (учебник для высших технических учебных заведений 1966 г.)
И.И.Привалов "Аналитическая геометрия"
§ 1. Задача преобразования координат.
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.
Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе .
Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.
Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO 1 Y (рис. 68).
Положение новой системы XO 1 Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O 1 по старой системе и угол α между осями Ох и О 1 Х . Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y-координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α .
Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.
1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α = 0).
2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).
§ 2. Перенос начала координат.
Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами O и O 1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).
Обозначим через а и b координаты нового начала О 1 в старой системе и через х, у и X , Y -координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М на оси О 1 Х и Ох , а также точку О 1 на ось Ох , получим на оси Ох три точки О, А и Р . Величины отрезков ОА , АР и ОР связаны следующим соотношением:
| ОА | + | АР | = | ОР |. (1)
Заметив, что | ОА | = а , | ОР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х , перепишем равенство (1) в виде:
а + X = x или x = X + а . (2)
Аналогично, проектируя М и О 1 на ось ординат, получим:
y = Y + b (3)
Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе.
Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через старые:
Х = х - а , (2")
Y = y - b . (3")
§ 3. Поворот осей координат.
Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).
Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ . Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:
х = | ОР | , у = | РM | ,
X = | ОР 1 |, Y = | Р 1 M |.
Рассмотрим ломаную линию ОР 1 MP и возьмем ее проекцию на ось Ох . Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8) имеем:
ОР 1 MP = | ОР |. (4)
С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:
пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = | ОР | (4")
Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то
пр ОР 1 = X cos α
пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,
пp MP = 0.
Отсюда равенство (4") нам дает:
x = X cos α - Y sin α . (5)
Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу , получим выражение для у . В самом деле, имеем:
пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = пp ОР = 0.
Заметив, что
пр ОР 1 = X cos (α - 90°) = X sin α ,
пр Р 1 M = Y cos α ,
пp MP = - y ,
будем иметь:
X sin α + Y cos α - y = 0,
y = X sin α + Y cos α . (6)
Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y .
Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе.
Из рис. 71 имеем:
х = ОР = ОМ cos (α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,
у = РМ = ОМ sin (α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .
Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X , ОМ sin φ =Y , то
x = X cos α - Y sin α , (5)
y = X sin α + Y cos α . (6)
§ 4. Общий случай.
Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).
Обозначим через а и b координаты нового начала О , по старой системе, через α -угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, Y - координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.
Чтобы выразить х и у через X и Y , введем вспомогательную систему координат x 1 O 1 y 1 , начало которой поместим в новом начале О 1 , а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть x 1 и y 1 , обозначают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):
х = х 1 + а , у = у 1 + b .
х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .
Заменяя х 1 и y 1 в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:
x = X cos α - Y sin α + a
y = X sin α + Y cos α + b (I)
Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при α = 0 формулы (I) обращаются в
x = X + а , y = Y + b ,
а при а = b = 0 имеем:
x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .
Из формул (I) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если уравнения (I) разрешим относительно X и Y .
Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и Y , т. е. вида:
x = AX + BY + C , y = A 1 X + B 1 Y + C 1 .
Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у.
Г.Н.Яковлев "Геометрия"
§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой
Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.
Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.
Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О", i", j" (рис. 41).
Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую - с началом в точке О" и базисными векторами i" и j" - новой.
Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О" в старой системе имеет координаты (a;b ), a вектор i" образует с вектором i угол α . Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у ), в новой - через (х";у" ). Наша задача - установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.
Соединим попарно точки О и О", О" и М, О и М. По правилу треугольника получаем
OM > = OO" > + O"M > . (1)
Разложим векторы OM > и OO" > по базисным векторам i и j , а вектор O"M > по базисным векторам i" и j" :
OM > = xi + yj , OO" > = ai + bj , O"M > = x"i "+ y"j "
Теперь равенство (1) можно записать так:
xi + yj = (ai + bj ) + (x"i "+ y"j "). (2)
Новые базисные векторы i" и j" раскладываются по старым базисным векторам i и j следующим образом:
i" = cos α i + sin α j ,
j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .
Подставив найденные выражения для i" и j" в формулу (2), получим векторное равенство
xi + yj = ai + bj + х" (cos α i + sin α j ) + у" (- sin α i + cos α j )
равносильное двум числовым равенствам:
|
х = а
+ х"
cos α
- у"
sin α
, |
Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х" и у" . Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х" и у" .
Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b ) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).
Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем
Формулы (5) называют формулами поворота .
Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; -1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.
По формулам (4) имеем
Ответ. A (2; -4)
Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (-2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.
А По формулам (4) получаем
|
-
2 = а
+ 5 |
откуда а = - 7, b = - 2.
Ответ. (-7; -2).
Задача 3. Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.
По формулам (5) находим
Задача 4. Координаты точки A в старой системе (2 √3 ; - √3 ). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (-1;-2), а оси повернуты на угол α = 30°.
По формулам (3) имеем
Решив эту систему уравнений относительно х" и у" , найдем: х" = 4, у" = -2.
Ответ. A (4; -2).
Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2х - 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.
Формулы поворота в данном случае имеют вид
Заменив в уравнении прямой у = 2х - 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение
√ 2 / 2 (x" + y" ) = 2 √ 2 / 2 (x" - y" ) - 6 ,
которое после упрощений принимает вид y" = x" / 3 - 2√2
Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы координат. Первая определяется началом О и базисными векторамиi j , вторая – центром О’ и базисными векторами i ’ j ’ .
Поставим цель выразить координаты x y некоторой точки М относительно первой системы координат через x ’ и y ’ – координаты той же точки относительно второй системы.
Заметим, что
Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:
Разложим векторы i ’ и j ’ по базису i j :
(*)
Кроме
того, имеем:
.
Введем сюда разложения векторов по
базисуi
’
j
’
:
отсюда
Можно сделать вывод: каковы бы ни были две произвольных декартовы системы на плоскости, координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.
Умножим скалярно уравнения (*) сначала на i , затем на j :
Обозначим через угол между векторами i и i ’ . Система координат i j может быть совмещена с системой i ’ j ’ путем параллельного переноса и последующего поворота на угол . Но здесь возможен и дугой вариант: угол между базисными векторами i i ’ также , а угол между базисными векторами j ’ j ’ равен - . Эти системы нельзя совместить параллельным переносом и поворотом. Необходимо еще и изменить направление оси у на противоположное.
Из формулы (**) получаем в первом случае:
Во втором случае
Формулы преобразования имеют вид:
Второй случай мы рассматривать не будем. Условимся считать обе системы правыми.
Т.е. вывод: каковы бы ни были две правые системы координат, первая из них может быть совмещена со второй путем параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала на некоторый угол .
Формулы
параллельного переноса:
Формулы
поворота осей:
Обратные преобразования:
Преобразование декартовых прямоугольных координат в пространстве.
В пространстве, рассуждая аналогичным образом, можно записать:
(***)
И для координат получить:
(****)
Итак, каковы бы ни были две произвольные системы координат в пространстве, координаты x y z некоторой точки относительно первой системы являются линейными функциями координат x ’ y ’ z ’ этой же точки относительно второй системы координат.
Умножая каждое из равенств (***) скалярно на i ’ j ’ k ’ получаем:
В
ыясним
геометрический смысл формул преобразования
(****). Для этого предположим, что обе
системы имеют общее начало:a
=
b
=
c
= 0
.
Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующих расположение осей второй системы относительно первой.
Первый угол – образован осью х и осью u, являющейся пересечением плоскостей xOy и x’Oy’. Направление угла – кратчайший поворот от оси x к y. Обозначим угол через . Второй угол – это не превосходящий угол между осями Oz и Oz’. Наконец, третий угол – это угол между осью u и Ox’, отсчитываемый от оси u в направлении кратчайшего поворота от Ox’ к Oy’. Эти углы называются углами Эйлера.
Преобразование первой системы во вторую можно представить в виде последовательного проведения трех поворотов: на угол относительно оси Oz; на угол относительно оси Ox’; и на угол относительно оси Oz’.
Числа ij можно выразить через углы Эйлера. Эти формулы мы записывать не будем из-за громоздкости.
Само преобразование представляет собой суперпозицию параллельного переноса и трех проводимых последовательных поворотов на углы Эйлера.
Все эти рассуждения можно провести и для случая, когда обе системы левые, или разной ориентации.
Если имеем две произвольные системы, то, вообще говоря, можно их совместить путем параллельного переноса и одного поворота в пространстве вокруг некоторой оси. Искать ее не будем.
1) Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с той же ориентацией и с тем же началом координат.
Предположим, что на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим началом координат О , имеющие одинаковую ориентацию (рис. 145). Обозначим единичные векторы осей Ох и Оу соответственно через и , а единичные векторы осей и через и . Наконец пусть - угол от оси Ох до оси . Пусть х и у – координаты произвольной точки М в системе хОу , а и - координаты той же точки М в системе .
Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора
Угол от оси Ох до вектора равен ; поэтому координаты вектора равны .
Формулы (3) § 97 принимают вид
Матрица перехода от одной декартовой хОу прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией имеет вид
Матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов, расположенных в каждом столбце, равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю, т.е. если
Таким образом, матрица (2) перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе с той же ориентацией ортогональная. Отметим ещё, что определитель этой матрицы равен +1:
Обратно, если задана ортогональная матрица (3) с определителем, равным +1, и на плоскости введена декартова прямоугольная система координат хОу , то в силу соотношений (4) векторы и единичные и взаимно перпендикулярные, следовательно, координаты вектора в системе хОу равны и , где - угол от вектора до вектора , а так как вектор единичный и получим из вектора поворотом на , то либо , либо .
Вторая возможность исключается, так как если бы мы имели , то а нам дано, что .
Значит, , и матрица А имеет вид
т.е. является матрицей перехода от одной прямоугольной системы координат хОу к другой прямоугольной системе , имеющей ту же ориентацию, причем угол .
2. Переход от одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной системе с противоположной ориентацией и с тем же началом координат.
Пусть на плоскости введены две декартовы прямоугольные системы координат хОу и с общим начало координат О , но имеющие противоположную ориентацию обозначим угол от оси Ох до оси через (ориентацию плоскости зададим системой хОу ).
Так как угол от оси Ох до вектора равен , то координаты вектора равны:
Теперь угол от вектора до вектора равен (рис. 146), поэтому угол от оси Ох до вектора равен (по теореме Шаля для углов) и поэтому координаты вектора равны:
И формулы (3) § 97 принимают вид
Матрица перехода
ортогональная, но ее определитель равен –1 . (7)
Обратно, любая ортогональная матрица с определителем, равным –1, задает преобразование одной прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему с тем же началом, но противоположной ориентации. Итак, если две декартовы прямоугольные системы координат хОу и имеют общее начало, то
где х , у – координаты любой точки в системе хОу ; и - координаты той же точки в системе , а
ортогональная матрица.
Обратно, если
произвольная ортогональная матрица, то соотношениями
выражается преобразование декартовой прямоугольной системы координат в декартовую прямоугольную систему с тем же началом координат; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси ; - координаты в системе хОу единичного вектора , дающего положительное направление оси .
системы координат хОу и имеют одинаковую ориентацию, а в случае - противоположную.
3. Общее преобразование одной декартовой прямоугольной системы координат на плоскости в другую прямоугольную систему.
На основании пунктов 1) и 2) этого параграфа, а также на основании § 96 заключаем, что если на плоскости введены прямоугольные системы координат хОу и , то координаты х и у произвольной точки М плоскости в системе хОу с координатами и той же точки М в системе связаны соотношениями- координаты начала системы координат в системе хОу .
Заметим, что старые и новые координаты х , у и , вектора при общем преобразовании декартовой прямоугольной системы координат связаны соотношениями
в случае, если системы хОу и имеют одинаковую ориентацию и соотношениями
в случае, если эти системы имеют противоположную ориентацию, или же в виде
ортогональная матрица. Преобразования (10) и (11) называются ортогональными.