Что такое поверхность первого порядка. Основные поверхности пространства и их построение. Распространенные уравнения плоскостей

Поверхность

Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.

Линия в пространстве

Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)

Плоскость, как поверхность первого порядка

Существует, как минимум, три определения плоскости:

1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.

А теперь об одной из форм уравнения плоскости.

Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)

Пусть искомая плоскость р проходит через точку М 0 перпендикулярно вектору, тогда

Во-первых, вектор есть результат векторного произведения вектора М 0 М 2 на вектор М 0 М 1

Во-вторых, вектор перпендикулярен и вектору М 0 М 2 , и вектору М 1 М 2 . Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение на вектор М 0 М 2 (или на вектор М 0 М 1) равно нулю. Если точка М 2 имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора на вектор М 0 М 2 должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М 0 М 2 определяется как

получаем, что

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору

Пример 30 (получение уравнения плоскости)

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1; 1; 1) перпендикулярно вектору

Решение

В нашем случае

А=1, В= 1 и С =1;

x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 3,

следовательно, уравнение плоскости имеет вид

Или, окончательно,

Ответ

Искомая плоскость определяется уравнением

Общее уравнение плоскости

Вообще, любое уравнение вида

A x + B y + C z + D = 0

определяет плоскость (где А, В и С - координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравнения плоскости получила название «общее уравнение плоскости».

Неполные уравнения плоскости

Пусть плоскость задана своим общим уравнением

A x + B y + C z + D = 0, (*)

1) если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через начало координат;

2) если А = 0, то B y + C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к.);

3) если В = 0, то A x + C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к.);

4) если C = 0, то A x + B y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oz (т.к.);

5) А = 0; В = 0, то C z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;

6) A = 0; C = 0, то В y + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxz;

7) B = 0; C = 0, то A x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;

8) A = 0, B = 0, D = 0, то С z = 0 - это плоскость Oxy;

9) A = 0, C = 0, D = 0, то B y = 0 - это плоскость Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0, то A z = 0 - это плоскость Oyz.

Точно так же, как было ранее с общим уравнением прямой на плоскости , из общего уравнения можно получить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнение плоскости в отрезках.

Из общего уравнения плоскости

A x + B y + C z + D = 0

Получается уравнение плоскости в отрезках

Последнее выражение получило название «уравнение плоскости в отрезках»

Уравнение плоскости в отрезках

где a, b и с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.

Т.е., векторы-нормали имеют координаты

Для плоскости

И пусть плоскости не совпадают и не параллельны (см. Рис.32)

Угол между двумя плоскостями

Угол между плоскостями определяется углом между нормальными векторами, а как найти угол между векторами мы уже знаем:

если ц - угол между векторами, то это же и угол между плоскостями р 1 и р 2

Откуда два важных следствия (условия)

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости перпендикулярны при условии, что

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

В пространстве аналитическая геометрия изучает поверхности, которые в прямоугольных декартовых координатах определяются алгебраическими уравнениями первой, второй и т.д. степени относительно X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

А x²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

и т.п. Порядок уравнения называется порядком поверхности им определяемой. Мы уже видели, что уравнение первого порядка (линейное) (1) всегда задаёт плоскость - это единственная поверхность первого порядка. Поверхностей второго порядка уже много. Рассмотрим наиболее важные из них.

§2. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей.

Пусть в плоскости XОY, например, задана некоторая линия L, её уравнение есть F(x,y)=0 (1) . Тогда множество прямых, параллельных оси oz (образующие) и проходящих через точки на L, образуют поверхность S, называемую цилиндрической поверхностью.

Покажем, что уравнение (1), не содержащее переменной z, и есть уравнение этой цилиндрической поверхности S. Возьмём произвольную точку М(x,y,z), принадлежащую S. Пусть образующая, проходя через М пересекает L в точке N. Точка N имеет координаты N(x,y,0), они удовлетворяют уравнению (1), т.к. (·)N принадлежит L. Но тогда и координаты (x,y,z,) удовлетворяют (1), т.к. оно не содержит z. Значит, координаты любой точки цилиндрической поверхности S удовлетворяют уравнению (1). Значит, F(x,y)=0 - уравнение этой цилиндрической поверхности. Кривая L называется направляющей (кривой) цилиндрической поверхности. Заметим, что в пространственной системе L должна задаваться, вообще-то, двумя уравнениями F(x,y)=0 , z=0, как линия пересечения.

Примеры:

Направляющими в плоскости хоу являются эллипс, парабола, гипербола. Очевидно, уравнения F=(y,z)=0 и F(x,z)=0 задают соответственно цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси OX и OY. Их направляющие лежат в плоскостях YOZ и XOZ соответственно.

Замечание. Цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка. Например, есть цилиндрическая поверхность 3го порядка, а уравнениеy=sin(x) задаёт синусоидальный цилиндр, которому никакого порядка не приписывают, это вообще, не алгебраическая поверхность.

§3. Уравнение поверхности вращения.

Некоторые поверхности 2го порядка являются поверхностями вращения. Пусть в плоскости YOZ лежит некоторая кривая L F(y,z)=0(1). Выясним, каково будет уравнение поверхности S, образованной вращением кривой (1) вокруг оси oz.

Возьмем на поверхности S произвольную точку M(x,y,z). Ее можно считать полученной из (.) N принадлежащей L , тогда аппликаты точек M и N равны (=z). Ордината точки N является тут радиусом вращения, потому .Но С(0,0,z) и потому . Но точка N лежит на кривой и поэтому её координаты ей удовлетворяют. Значит (2) . Уравнению (2) удовлетворяют координаты поверхности вращения S. Значит (2) и есть уравнение поверхности вращения. Знаки «+» или «-» берутся в зависимости от того в какой части плоскости YOZ размещается кривая (1), где у>0 или .

Итак, правило: Чтобы найти уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси OZ, нужно в уравнении кривой заменить переменную у

Аналогично составляются уравнения поверхностей вращения вокруг оси OX и OY.

В ближайших параграфах устанавливается, что поверхности первого порядка суть плоскости и только плоскости, и рассматриваются различные формы записи уравнений плоскостей.

198. Теорема 24. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

Доказательство. Считая заданной некоторую де- картову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную плоскость а и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Возьмем на плоскости а какую-нибудь точку М 0 (д: 0; у 0; z0); выберем, кроме того, какой угодно вектор (только не равный нулю!), перпендикулярный к плоскости а. Выбранный вектор обозначим буквой п, его проекции на оси координат -буквами А, В , С.

Пусть М{х; у; г)-произвольная точка. Она лежит на плоскости а в том и только в том случае, когда вектор MqM перпендикулярен к вектору п. Иначе говоря, точка Ж, лежащая на плоскости а, характеризуется условием:

Мы получим уравнение плоскости а, если выразим это условие через координаты х, у, z. С этой целью запишем координаты векторов М 0М и й:

М 0М={х-х 0; у-у 0; z-z0}, П={А; В; С}.

Согласно п° 165 признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. суммы попарных произведений соответственных координат этих векторов. Таким образом, М 0М J_ п в том и только в том случае, когда

A(x-x0)+B(y-y0) + C(z-ze) = 0. (1)

Это и есть искомое уравнение плоскости а, так как ему удовлетворяют координаты лг, у, z точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости а (т. е. когда луй J_«).

Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде

Ах +By + Cz + (- А х 0 - Ву 0-Cz0) = 0.

Ax-\-By + Cz + D = 0. (2)

Мы видим, что плоскость а действительно определяется уравнением первой степени. Теорема доказана.

199. Каждый (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к некоторой плоскости, называется нормальным к ней вектором. Употребляя это название, мы можем сказать, что уравнение

A(x-X())+B(y~y0) + C(z-z0)=0

есть уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0; у 0; z0) и имеющей нормальный вектор п - {А; В ; С}. Уравнение вида

Ах + Ву-\- Cz + D = 0

называется общим уравнением плоскости.

200. Теорема 25. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Считая заданной какую-нибудь декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольное уравнение первой степени

Ax-\-By+Cz-\rD = 0. (2)

Когда, мы говорим «произвольное» уравнение, то подразумеваем при этом, что коэффициенты А, В, С, D могут быть какими угодно числами, но, конечно, исключая

случай одновременного равенства нулю всех трех коэффициентов А, В, С. Мы должны доказать, что уравнение (2) есть уравнение некоторой плоскости.

Пусть лг 0, у 0, г 0-какое-нибудь решение уравнения (2), т. е. тройка чисел, которая этому уравнению удовлетворяет*). Подставляя числа у 0, z0 вместо текущих координат в левую часть уравнения (2), мы получим арифметическое тождество

Ax0 + By0 + Cz0+D^O. (3)

Вычтем из уравнения (2) тождество (3). Мы получим уравнение

A(x-xo)+B(y-yo) + C(z-zo) = 0, (1)

которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (jc0; у 0; z0) и имеющей нормальный вектор п - {А; В; С}. Но уравнение (2) равносильно уравнению (1), так как уравнение (1) получается из уравнения (2) путем почленного вычитания тождества (3), а уравнение (2) в свою очередь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением той же плоскости.

Мы доказали, что произвольное уравнение первой степени определяет плоскость; тем самым теорема доказана.

201. Поверхности, кооторые в" декартовых координатах определяются уравнениями первой степени, называются, как мы знаем, поверхностями первого порядка. Употребляя эту терминологию, мы можем высказать установленные результаты так:

Каждая плоскость есть поверхность первого порядка; каждая поверхность первого порядка есть плоскость.

Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку Afe(l; 1; 1) перпендикулярно к вектору я*={ 2; 2; 3}.

Реше н и е. Согласно п° 199 искомое уравнение есть

2(*- 1)+2 (у -1)+3(г -1)=0,

или

2х+2у+3г- 7 = 0.

*) Уравнение (2), как всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными, имеет бесконечно много решений. Чтобы найти какое- нибудь из них, нужно двум неизвестным предписать численные значения, а третью неизвестную тогда найти ив уравнения.

202. В заключение этого параграфа докажем следующее предложение: если два уравнения Ахх -j- В^у -]- Cxz Dt = 0 и А 2х + В^у -f- C2z -]- £)2 = 0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны.

В самом деле, в этом случае векторы пх = {Л 1; Вх\ и п 2 - {/42; В 2; Сг} перпендикулярны к одной плоскости, следовательно, коллинеарны друг другу. Но тогда согласно п° 154 числа Аъ В 2, С 2 пропорциональны числам А1г В1гСх; обозначив множитель пропорциональности через р, имеем: А 2-А 1ц, B2 = Bx\i, С 2 =.Cj\i. Пусть М 0 (х 0; у 0; ^-любая точка плоскости; ее координаты должны удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом, Ахх 0 + Вху 0

Cxz0 = 0 и A2xQ В 2у 0 C2z0 + D2 = 0. Умножим первое из этих равенств на р. и вычтем из второго; получим D2-Djp = 0. Следовательно, D%-Dx\i и

В^ Сг_ D2

Ах В, Сх-Б1 ^

Тем самым наше утверждение доказано.

Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет вид Ax + Ву + Cz + D = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A, В, C должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz алгебраическую поверхность первого порядка .

Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости - геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными .

Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость.

◄ Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость π задана своей точкой М 0 и ненулевым вектором n, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других - из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости. Какому из этих множеств принадлежит произвольная точка M пространства, зависит от знака скалярного произведения nM 0 M . Если точка M принадлежит плоскости (рис. 5.1, а), то угол между векторами n и M 0 M прямой, и поэтому, согласно теореме 2.7, их скалярное произведение равно нулю:

nM 0 M = 0

Если же точка M не принадлежит плоскости, то угол между векторами n и M 0 M острый или тупой, и поэтому nM 0 M > 0 или nM 0 M

Обозначим координаты точек M 0 , M и вектора n через (х 0 ; у 0 ; z 0), (х; у; z) и {A; В; C} соответственно. Так как M 0 M = {х - х 0 0; у - у 0 ; z - z 0 }, то, записывая скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.14) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов n и M 0 M , получаем условие принадлежности точки M рассматриваемой плоскости в виде

A(x - х 0) + В(у - у 0) + C (z - z 0) = 0. (5.2)

Раскрытие скобок дает уравнение

Ax + Ву + Cz + D = 0, (5.3)

где D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 и хотя бы один из коэффициентов A, В, или C отличен от нуля, так как вектор n = {A; В; C} ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка.

Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометрическим образом уравнения Ax + Ву + Cz + D = 0, A 2 + В 2 + C 2 = 0, является плоскость. Выберем три числа (х = х 0 , у = у 0 , z = z 0), удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существуют. Например, при A ≠ 0 можно положить у 0 = 0, z 0 = 0 и тогда х 0 = - D/A. Выбранным числам соответствует точка M 0 (x 0 ; у 0 ; z 0), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ax 0 + Ву 0 + Cz 0 + D = 0 следует, что D = - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 . Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ax + Ву + Cz - Ax 0 - Ву 0 - Cz 0 = 0, что равносильно (5.2). Равенство (5.2) можно рассматривать как критерий ортогональности векторов n = {A; В; C} и M 0 M , где точка M имеет координаты (х; у; z). Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору n = {A; В; C}, и не выполнен для остальных точек пространства. Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости.

Уравнение Ax + Ву + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, В, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; В; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости . Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.

По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких-либо вычислений.

Пример 5.1. Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-вектору точки A(2; 5; 7) и проходящей через точку М 0 (3; - 4; 1).

Поскольку ненулевой вектор OA = {2; 5; 7} перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х - 3) + 5(у + 4) + 7(z- 1) = 0. Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоскости 2х + 5у + 7z + 7 = 0.

Лекция 2. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их исследование. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в пространстве, плоскости и прямой в пространстве. Прямая на плоскости, уравнения прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой на плоскости. Кривые второго порядка; вывод канонических уравнений, исследование уравнений и построение кривых. Поверхности II порядка, исследование канонических уравнений поверхностей. Метод сечений. 1

Элементы аналитической геометрии § 1. Плоскость. Имеем OXYZ и некоторую поверхность S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Определение 1: уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности S в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки не лежащей на ней. 2

Пример. Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) определяем сферу с центром в точке C(a, b, c) и радиусом R. M M(x, y, z) – переменная точка M ϵ (S) |CM| = R C 3

Определение 2: Поверхность S называется поверхностью n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени F(x, y, z) = 0 (1) В примере (S) - окружность, поверхность второго порядка. Если S - поверхность n-того порядка, то F(x, y, z) - многочлен n-той степени относительно (x, y, z) Рассмотрим единственную поверхность 1 -го порядка – плоскость. Составим уравнение плоскости проходящей через точку M (x , y , z), с вектором нормали 4

Пусть M(x, y, z) - это произвольная (текущая) точка плоскости. M M 0 О α или в координатной форме: (2) Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей через точку М с данным вектором нормали. 5

D (*) (3) - полное уравнение плоскости Неполное уравнение плоскости. Если в уравнении (3) несколько коэффициентов (но не A, B, C одновременно) = 0, то уравнение называется неполным и плоскость α имеет особенности в расположении. Например если D = 0, то α проходит через начало координат. 6

Расстояние от точки М 1 до плоскости α М 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 приложим к точке M 0 K 7

- расстояние от точки M 1 до плоскости α Уравнение плоскости «в отрезках» Составим уравнение плоскости отсекающей на координатных осях ненулевые отрезки с C(0, 0, c) величинами a, b, c. В качестве возьмем B(0, b, 0) Составим уравнение для т. A с A(a, 0, 0) 8

-уравнение плоскости α "в отрезках" -уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору нормали 9

§ 2. Общее уравнение прямой. Прямую в пространстве можно задать пересечением 2 -х плоскостей. (1) уравнение прямой Система вида (1) определяет прямую в пространстве, если коэффициенты A 1, B 1, C 1 одновременно непропорциональны A 2, B 2, C 2. 10

Параметрические и канонические уравнения прямой -произвольная точка прямой точка M M 0 Параметрическое уравнение t - параметр 11

Исключив t получим: - каноническое уравнение Система (3) определяет движение материальной точки, прямолинейное и равномерное из начального положения M 0(x 0, y 0, z 0) со скоростью в направлении вектора. 12

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности. Пусть в пространстве две прямые L 1, L 2 заданы своими каноническими уравнениями: Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла

их направляющими векторами: Пользуясь определением скалярного произведения и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов q 1 и q 2, получим для нахождения: 15

Условие параллельности прямых l 1 и l 2 соответствует коллинеарности q 1 и q 2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид: Условие перпендикулярности следует из определения скалярного произведения и его равенства нулю (при cos = 0) и имеет вид: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Угол между прямой и плоскостью: условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением: Ах + By + Cz + D = 0, и прямую L, заданную каноническим уравнением: 17

Т. к. угол между прямой L и плоскостью П является дополнительным к углу между направляющим вектором прямой q = (l, m, n) и нормальным вектором плоскости n = (А, В, С), то из определения скалярного произведения q n = q n cos и равенства cos = sin (= 90 -), получим: 18

Условие параллельности прямой L и плоскости П (включающее в себя принадлежность L к П) эквивалентно условию перпендикулярности векторов q и n и выражается = 0 скалярного произведения этих векторов: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Условие перпендикулярности прямой L и плоскости П эквивалентно условию параллельности векторов n и q и выражается пропорциональностью координат этих векторов: 19

Условия принадлежности двух прямых к одной плоскости Две прямые в пространстве L 1 и L 2 могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые L 1 и L 2 лежат в одной плоскости. Установим условие принадлежности к одной плоскости двух прямых, заданных каноническими уравнениями: 20

Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора = (х2 - х1, у2 - у1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) и q 2 = (l 2, m 2, n 2), были компланарны, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указанных трех векторов = 0. 21

Записывая смешанные произведения указанных векторов в координатах получаем необходимое и достаточное условие принадлежности двух прямых L 1 и L 2 к одной плоскости: 22

Условие принадлежности прямой к плоскости Пусть есть прямая и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0. Эти условия имеют вид: Ах1 + Ву1 + Сz 1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0, первое из которых означает, что точка М 1(х1, у1, z 1), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе – условие параллельности прямой и плоскости. 23

Кривые второго порядка. § 1. Понятие об уравнении линии на плоскости. Уравнение f (x, y) = 0 называется уравнением линии L в выбранной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25

Линия L называется линией n-того порядка, если в некоторой декартовой системе координат она задается алгебраическим уравнением n-той степени относительно x и y. Мы знаем единственную линию 1 -го порядка – прямую: Ax + By + D = 0 Мы будем рассматривать кривые 2 -го порядка: эллипс, гиперболу, параболу. Общее уравнение линий 2 -ого порядка имеет вид: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Эллипс (Э) Определение. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами. Обозначим постоянную 2 а, расстояние между фокусами 2 с Проведем ось Х через фокусы, (а > с, а > 0, с > 0). ось Y через середины фокусного расстояния. Пусть М – произвольная точка эллипса, т. М ϵ Э r 1 + r 2 = 2 a (1), где r 1, r 2 – фокальные 27 радиусы Э.

Запишем (1) в координатной форме: (2) Это уравнение эллипса в выбранной системе координат. Упрощая (2) получим: b 2 = a 2 - c 2 (3) – каноническое уравнение эллипса. Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны: 28

Исследование формы эллипса по каноническому уравнению 1) Эллипс – кривая 2 -го порядка 2) Симметрия эллипса. т. к. x и y входят в (3) лишь в четных степенях, то эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с выбранными осями координат и точкой О. 29

3) Расположение эллипса Т. е. весь Э расположен внутри прямоугольника, стороны которого x = ± a и y = ± b. 4) Пересечение с осями. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); С ОХ: вершины эллипса С ОУ: B 1(0; b); B 2(0; -b); В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение (↓) лишь в I четверти. 30

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt="Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31

Гипербола (Г) Определение: Г – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых до 2 -х фиксированных точек плоскости F 1 , F 2 есть величина постоянная и

Упрощая (1): (2) – каноническое уравнение Г. (1) и (2) – эквивалентны. Исследование гиперболы по каноническому уравнению 1) Г- линия 2 -го порядка 2) Г имеет две оси и один центр симметрии, которые в нашем случае совпадают с координатными осями и началом координат. 3) Расположение гиперболы. 34

Гипербола расположена вне полосы между прямыми x = a, x = -a. 4) Точки пересечения с осями. OX: OY: не имеет решений A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – действительные вершины Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – мнимые вершины Г 2 a – действительная ось Г 2 b – мнимая ось Г 35

5) Асимптоты гиперболы. В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в I четверти. Разрешив (2) относительно y, получим: уравнение Г в I четверти x ≥ 0 Рассмотрим прямую: т. к. в I четверти x>0, то т. е. в I четверти при одной и той же абсциссе, ордината прямой > ординаты соответствующей точки Г, т. е. в I четверти Г лежит ниже этой прямой. Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами 36

6) Можно показать, что в I ч. Г возрастает 7) План построения Г а) строим прямоугольник 2 a, 2 b б) проводим его диагонали в) отметим А 1, А 2 – действительные вершины Г и 38 впишем эти ветви

Парабола (П) Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости. Определение. П – множество всех точек плоскости, равноудаленных от прямой d и точки F (фокус) 39

d-директриса F-фокус XOY точка М П тогда, |MF| = |MN| (1) уравнение П, выбранной в системе координат Упрощая (1) получим y 2 = 2 px (2) – каноническое уравнение П. (1) и (2) эквивалентны 40

Исследование П по каноническому уравнению x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Цилиндры. Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осями Через точку х линии L проведем прямую параллельную оси OZ. Поверхность, образованная этими прямыми называется цилиндрической поверхностью или цилиндром (Ц). Любая прямая параллельная оси OZ называется образующей. l - направляющая цилиндрической поверхности плоскости XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Пусть М(x, y, z) – произвольная точка цилиндрической поверхности. Спроецируем ее на L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что если М Ц, то она не проектируется в точку М 0 ϵ L и следовательно, координаты М не будут удовлетворять уравнению (1), которое определяет Ц с образующей параллельной оси OZ в пространстве. Аналогично можно показать, что: Ф(x, z) = 0 в пространстве Ц || OY 43 (y, z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX

Проекция пространственной линии на координатной плоскости Линию в пространстве можно задать параметрически и пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно задать ∩ различных поверхностей. Пусть пространственная линия L задается ∩ двух поверхностей α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 уравнение L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1) исключаем Z. Получим уравнение: Z(x, y) = 0 – в пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ и направляющей L. 46

Проекция: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Поверхности второго порядка Эллипсоид – каноническое уравнение поверхности имеет вид: 1) Эллипсоид – поверхность второго порядка. 2) X, Y, Z входят в уравнение лишь в четных степенях => поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии, которые в выбранной системе координат совпадают с координатными плоскостями и началом координат. 47

3) Расположение эллипсоида Поверхность заключена между || плоскостями с уравнениями x = a, x = -a. Аналогично т. е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного параллелепипеда. х = ± а, y = ± b, z = ± с. Будем исследовать поверхность методом сечений – пересекая поверхность координатными плоскостями || координатным. В сечении будем получать линии, по форме которых будем судить о форме поверхности. 48

Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении получим линию. - эллипс a и b – полуоси Аналогично с плоскостью YOZ -эллипс с полуосями b и с Плоскость || XOY Если h(0, с), то оси эллипса убывают от a и b до 0. 49

a = b = с - сфера Параболоиды а) Гиперболический параболоид – поверхность с каноническим уравнением: 1) Поверхность второго порядка 2) Так как x, y входят в уравнение лишь в четных степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии, которые при данном выборе координат совпадают с 50 плоскостями XOZ, YOZ.

3) исследуем поверхность методом сечения седло пл. XOZ В сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая. пл. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt="пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53

б) Двуполостный гиперболоид 1) поверхность второго порядка 2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии 3) расположение поверхности x 2 ≥ a 2 ; |x| ≥ a ; (a, b, c > 0) Поверхность состоит из двух частей, расположенных вне полосы между плоскостями с уравнениями x = a, x = -a 4) исследуем методом сечений (Самостоятельно!) 57

Конус второго порядка Конусом второго порядка называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: 1) поверхность второго порядка 2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии 3) исследуем методом сечений пл. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt="пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59